2.4 Representación matricial

Coordenadas homogéneas y representación matricial
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales.
 De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.
Coordenadas homogéneas y representación matricial
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas
las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un
punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.


Representación matricial.
En el área de la graficación por computadora, es común encontrar la representación de las ecuaciones de transformación por medio de matrices, y se pueden encontrar dos tipos de notaciones para representarlas:
1.- Repesentando las coordenadas de un punto p como vectores renglón (en este caso una matriz de transformación M en 2 dimensiones, multiplica al punto por la derecha para obtener el nuevo punto p'.
p= [x1    x2],   p'=[x1    x2]= p*M

2.- Representando las coordenadas de un punto p como vectores columna, en este caso una matriz de transformación M, multiplica al punto por la izquierda para obtener el nuevo punto p'.

       x1            x1'
p=[ x2 ],  p'=[ x2' ] =M*p 
 

Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:
– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma
– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final
• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones, cada transformación puede representarse como P’ = P M1+ M2

 La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala
 La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación

Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas
coordenadas en cada transformación!
P’’ = P’ M3+ M4= … = P M1M3+ M2 M3+ M4

Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para 
obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales

Coordenadas homogéneas
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices pues no todas las transformaciones son aplicadas a un punto como una multiplicación de factores.

Fuentes
1.-TEMA 3: Transformaciones 2D
2.-REPRESENTACION MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENCIONALES
3.-capitulo3: Transformaciónes geometricas
4.-Transformaciones geometricas
5.-Transformaciones geométricas. Introducción a la computación gráfica