3.4 lineas y superficies curvas

La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar y representar objetos reales o ficticios.
Normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar cercanos a los correspondientes puntos del objeto.

Definiciones Básicas
Una curva es  una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.

Una superficie es una extensión en que se consideran sólo dos dimensiones.


SUPERFICIES CURVAS

Las superficies curvas pueden generarse a partir de un conjunto funciones matemáticas que definen la superficies o bien a partir de un conjunto de puntos de datos especificados por el usuario.
Cuando se especifican funciones de curvas, un paquete puede emplear las ecuaciones definidoras para localizar y gráfica posiciones de pixeles a lo largo de la trayectoria de la curva, casi igual como sucede con las curvas en dos dimensiones.

La definición analítica de una dada curva puede hacerse de varios modos y se relaciona directamente con la forma de representarla gráficamente:

• Explícitamente :

 y = f(x)

• Implícitamente:

  f(x, y) = 0

• Paramétricamente:

   x = x(t)
   y = y(t)

Representación Explícita
Es la mas conocida desde que nos ensenaron a utilizar las coordenadas cartesianas para graficar funciones.
En 3D, para representar una curva se requieren dos ecuaciones:
y = f (x),  z = g(x)
Obteniendo una superficie  en 3D que será:
z = f (x, y)


Representación Implícita
Para curvas y superficies estándar (rectas, círculos, planos, toroides, etc.), este tipo de definición es mas directa y permite visualizar y modificar sencillamente parámetros importantes y específicos de cada curva (radio en un circulo, distancia al origen en un plano, etc.).
En 3D, una superficie se describe por
f(x, y, z) = 0
Ejemplo
• Una esfera: x2 + y2 + z2 – r2 = 0
• Una curva corresponde a la intersección de dos superficies:
f(x, y, z) = 0 y g(x, y, z) = 0
Nota: el punto (x, y, z) debe pertenecer a ambas superficies.

Representación Paramétrica
El valor de cada variable espacial se expresa en términos de una variable independiente (t), llamada parámetro.
Estas funciones juntas han de  formar las ecuaciones paramétricas de una curva:
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Cada valor de t determina un punto (x,y) que se puede representar en un sistema de coordenadas.
Superficie Paramétrica al conjunto de puntos (x,y,z,) dados por r(u,v)= x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k.
Las Ecuaciones x=(u,v), y=(u,v) y z=(u,v) se llaman Ecuaciones Paramétricas de la superficie.


La configuración de los objetos gráficos 3D curvas y superficies también se puede ilustrar con mayor detalle mediante la siguiente escena:

Variables para la escala y los giros
En gráficos 3D se agregaron unas variables para conocer y controlar los ángulos de giro del espacio : <Espacio>.rot.y y <Espacio>.rot.y donde <Espacio> es el nombre del espacio.

También se agregaron las variables <Espacio>.escala y <Espacio>.observador que sirven para controlar la escala y la distancia aparente al observador, ambas se miden en pixeles. La siguiente escena ilustra explícitamente el uso de estas variables. Observe que si el usuario cambia la escala o gira el espacio arrastrando el ratón, los controles numéricos se actualizan con los nuevos valores de la escala y las rotaciones.

pero . . .

¿Cómo se dibujan las curvas o superficies en la pantalla de la computadora?

Aproximando esta curva con una poligonal.
Así encontramos los puntos que serán mostrados. Y los puntos serán unidos a través de líneas.

Esta forma es totalmente diferente pues la curva o superficie es el resultado de un procedimiento o algoritmo; en general modificando una curva o  superficie simple de partida.
Ej.: Dividir en tres cada tramo de una poligonal y reemplazar los dos tramos que convergen a un vértice original por el que une los dos nuevos vértices cercanos al original:

Fuentes:
1.-Objetos gráficos en 3D
2.-ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO
3.-Transformaciones en 3D